Конденсатор и катушка соединены последовательно. Последовательное соединение резистора, конденсатора и катушки индуктивности
Положим по-прежнему, что ток в цепи изменяется по закону
и вычислим напряжение между концами цепи u . Так как при последовательном соединении проводников складываются напряжения, то искомое напряжение u есть сумма трех напряжений: на сопротивлении , на емкости и на индуктивности , причем каждое из этих напряжений, как мы видели, изменяется со временем по закону косинуса:
, (5)
, (6)
Для сложения этих трех колебаний воспользуемся векторной диаграммой напряжений. Колебания напряжения на сопротивлении изображаются на ней вектором , направленным вдоль оси токов и имеющим длину , колебания же напряжений на емкости и индуктивности - векторами и , перпендикулярными к оси токов, с длинами (I m /wC ) и (I m wL ) (рис.9.). Представим себе, что эти векторы вращаются против часовой стрелки вокруг общего начала с угловой скоростью w. Тогда проекции на ось токов векторов , и , будут описываться соответственно формулами (5)-(7). Очевидно, что проекция на ось токов суммарного вектора
равна сумме , то есть равна общему напряжению на участке цепи. Максимальное значение этого напряжения равно модулю вектора . Эта величина легко определяется геометрически. Сначала целесообразно найти модуль вектора :
,
а затем по теореме Пифагора:
. (8)
Из рисунка также видно, что
. (9)
Для напряжения на участке цепи можно записать
где амплитуда напряжения и фазовый сдвиг между током и напряжением определяются формулами (8), (9). Если , то напряжение по фазе опережает ток, в противном случае - напряжение отстает по фазе.
Формула (8) имеет сходство с законом Ома в том смысле, что амплитуда напряжения пропорциональна амплитуде тока. Поэтому ее иногда называют законом Ома для переменного тока. Однако нужно помнить, что эта формула относится только к амплитудам, но не к мгновенным значениям и . Величину
называют сопротивлением цепи для переменного тока, величину
называют реактивным сопротивлением цепи, а величину R - активным сопротивлением.
Полученные формулы справедливы и для замкнутой цепи, включающей в себя генератор переменного напряжения, если под R , C и L понимать их значения для всей цепи (например R представляет собой суммарное активное сопротивление цепи, включая и внутреннее сопротивление генератора). В этом случае во всех формулах следует заменить u на ЭДС генератора. Действительно, для всех наших рассуждений было безразлично, в каком именно месте сосредоточены емкость, индуктивность и сопротивление, поэтому в замкнутой цепи (рис.8) мы можем считать, что представляет собой суммарное активное сопротивление цепи, включая и внутреннее сопротивление генератора, а и - емкость и индуктивность цепи, и заменить реальный генератор воображаемым, у которого внутреннее сопротивление равно нулю. При этом напряжение u между точками a и b будет равно ЭДС генератора . Отсюда следует, что формулы (8), (9) справедливы и для замкнутой цепи переменного тока, если под , , и понимать их значения для всей цепи и заменить во всех формулах u на ЭДС генератора .
Согласно уравнениям элементов
. (15.1)
Мы нашли комплекс тока. Попутно в знаменателе мы получили комплексное сопротивление двухполюсника 
, активное сопротивление двухполюсника и реактивное сопротивления двухполюсника 
.
Фазовым резонансом двухполюсника называется такой режим, при котором ток и напряжение двухполюсника совпадают по фазе: . При этом реактивное сопротивление и реактивная проводимость двухполюсника равны нулю.
Резонансом напряжений двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются напряжения элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом минимально.
Резонансом токов двухполюсника называется режим, при котором максимально компенсируются токи элементов цепи. Полное сопротивление двухполюсника при этом максимально.
Для последовательного соединения резистора, катушки индуктивности и конденсатора фазовый резонанс совпадает с резонансом напряжений. Резонансная частота определяется по формуле
которая выводится из равенства нулю реактивного сопротивления: 
.
Зависимость действующих значений напряжений от частоты для последовательного соединения R , L , C показана на рис. 15.3. Выражения для вычисления этих напряжений получаются умножением действующего значения тока (формула 15.2) на полные сопротивления элементов: , , (см. п. 12).
Построим векторную диаграмму тока и напряжений (рис. 15.4, здесь показан случай U L > U C ). Проще всего это сделать, если начальная фаза тока равна нулю: . Тогда вектор, изображающий комплекс тока, будет направлен под углом к действительной оси комплексной плоскости. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на резисторе, будет направлен в ту же сторону, что и вектор, изображающий комплекс тока.
Рис. 15.3.
| 
Рис. 15.4.
| 
Рис. 15.5.
|
Напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на катушке индуктивности, будет направлен под углом к вектору, изображающему комплекс тока. Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на угол , поэтому вектор, изображающий комплекс напряжения на конденсаторе, будет направлен под углом –к вектору, изображающему комплекс тока. Вектор, изображающий комплекс приложенного напряжения, будет равен сумме векторов, изображающих комплексы напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. Длины всех векторов пропорциональны действующим значениям соответствующих величин. То есть, для того чтобы нарисовать векторы, нужно задать масштабы, например: в 1 сантиметре 20 вольт, в 1 сантиметре 5 ампер.
Векторная диаграмма для режима резонанса показана на рис. 15.5.
Вычислим отношение действующих значений напряжений на катушке индуктивности и на конденсаторе к действующему значению напряжения источника в режиме резонанса.
Учтем, что при резонансе напряжения на катушке и на конденсаторе полностью компенсируют друг друга (резонанс напряжений), и поэтому напряжение источника равно напряжению на резисторе: (рис. 15.5). Используем связь действующих значений тока и напряжения для резистора, катушки и конденсатора, а также формулу для резонансной частоты. Получим:
откуда 
.
Величину называют волновым сопротивлением колебательного контура и обозначают буквой r. Отношение обозначают буквой Q и называют добротностью колебательного контура. Она определяет усилительные свойства контура на резонансной частоте. У хороших контуров добротность может быть порядка нескольких сотен, то есть в режиме резонанса напряжение на катушке и конденсаторе может быть в сотни раз больше приложенного к двухполюснику.
Резонанс часто применяется в электротехнике и электронике для усиления синусоидальных напряжений и токов, а также для выделения колебаний определенных частот из сложных колебаний. Однако, нежелательный резонанс в информационных электрических цепях приводит к возникновению и усилению помех, а в силовых цепях может привести к появлению опасно больших напряжений и токов.
Пользуясь полученными выше результатами, можно найти соотношения между колебаниями тока и напряжения в любой цепи. Рассмотрим последовательное соединение резистора, конденсатора и катушки индуктивности (рис. 8.).
Положим по-прежнему, что ток в цепи изменяется по закону
,
и
вычислим напряжение между концами цепи
u
.
Так как при последовательном соединении
проводников складываются напряжения,
то искомое напряжение u
есть сумма
трех напряжений: на сопротивлении
,
на емкости
и на
индуктивности
,
причем каждое из этих напряжений, как
мы видели, изменяется со временем по
закону косинуса:
,
(5)
,
(6)
Для
сложения этих трех колебаний воспользуемся
векторной диаграммой напряжений.
Колебания напряжения на сопротивлении
изображаются на ней вектором
,
направленным вдоль оси токов и имеющим
длину
,
колебания же напряжений на емкости и
индуктивности - векторами
и
,
перпендикулярными к оси токов, с длинами
(I
m /C
)
и (I
m L
)
(рис.9.).
Представим себе, что эти векторы вращаются
против часовой стрелки вокруг общего
начала с угловой скоростью .
Тогда проекции на ось токов векторов
,
и
,
будут описываться соответственно
формулами (5)-(7). Очевидно, что проекция
на ось токов суммарного вектора
равна
сумме
,
то
есть равна общему напряжению на участке
цепи. Максимальное значение этого
напряжения равно модулю вектора
.
Эта величина легко определяется
геометрически. Сначала целесообразно
найти модуль вектора
:
,
а затем по теореме Пифагора:
.
(8)
Из рисунка также видно, что
.
(9)
Для напряжения на участке цепи можно записать
где
амплитуда напряжения и фазовый сдвиг
между током и напряжением определяются
формулами (8), (9). Если
,
то напряжение по фазе опережает ток, в
противном случае - напряжение отстает
по фазе.
Формула
(8) имеет сходство с законом Ома в том
смысле, что амплитуда напряжения
пропорциональна амплитуде тока. Поэтому
ее иногда называют законом Ома для
переменного тока. Однако нужно помнить,
что эта формула относится только к
амплитудам, но не к мгновенным значениям
и
.
Величину
называют сопротивлением цепи для переменного тока, величину
называют реактивным сопротивлением цепи, а величину R - активным сопротивлением.
Полученные
формулы справедливы и для замкнутой
цепи, включающей в себя генератор
переменного напряжения, если под R
,
C
и L
понимать их значения для всей цепи
(например R
представляет собой суммарное активное
сопротивление цепи, включая и внутреннее
сопротивление генератора). В этом случае
во всех формулах следует заменить u
на ЭДС генератора.
Действительно,
для всех наших рассуждений было
безразлично, в каком именно месте
сосредоточены емкость, индуктивность
и сопротивление, поэтому в замкнутой
цепи (рис.8) мы можем считать, что
представляет собой суммарное активное
сопротивление цепи, включая и внутреннее
сопротивление генератора, а
и
- емкость и индуктивность цепи, и заменить
реальный генератор воображаемым, у
которого внутреннее сопротивление
равно нулю. При этом напряжениеu
между точками a
и b
будет равно ЭДС генератора
.
Отсюда следует, что формулы (8), (9)
справедливы и для замкнутой цепи
переменного тока, если под
,
,
и
понимать их значения для всей цепи и
заменить во всех формулахu
на ЭДС генератора
.
Всякая электрическая цепь характеризуется активным сопротивлением, индуктивностью и емкостью. Компоненты, обладающие этими свойствами, могут соединяться между собой различными способами. В зависимости от способа соединения рассматриваются значения активных и реактивных сопротивлений. В заключение описывается явление резонанса, играющее в радиотехнике важнейшую роль.
Мои дорогие друзья, вы познакомились с пассивными компонентами. Так называют резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы в отличие от активных компонентов: электронных ламп и транзисторов, изучением которых вы вскоре займетесь.
Сосуществование R, L и С
Все, что ты, Любознайкин, объяснил свому другу, совершенно правильно. Однако я должен добавить, что в действительности любой из компонентов обладает не только свойством, определяющим его название. Так, даже простой проводник из прямого отрезка провода одновременно обладает сопротивлением, индуктивностью и емкостью. В самом деле, какой хорошей ни была бы его проводимость, он все же обладает некоторым активным сопротивлением.
Вы помните, что, проходя по проводнику, электрический ток создает вокруг него магнитное поле. И если протекающий ток переменный, то и это поле переменное; оно наводит в проводнике токи, противодействующие основному току, протекающему по проводнику. Стало быть, здесь мы наблюдаем явление самоиндукции.
И, наконец, как и любой проводник, наш отрезок провода способен удерживать некоторый электрический заряд - как отрицательный, так и положительный. А это значит, что он обладает также и некоторой емкостью.
Все, что характерно для простого прямого отрезка провода, присуще, разумеется, и катушке: кроме своего основного свойства индуктивности, она обладает также некоторым активным сопротивлением и некоторой емкостью.
Конденсатор, в свою очередь, помимо характеризующей его емкости имеет некоторое, обычно очень малое, активное сопротивление. В самом деле, проходя по обкладкам конденсатора, электрические заряды пересекают некоторую массу обкладок, обладающую небольшим активным сопротивлением. И эти небольшие перемещения зарядов порождают также индукцию.
Таким образом, вы видите, что ни одна из этих трех характеристик, обозначаемых буквами R, L и С, не может существовать отдельно без наличия двух других. Тем не менее мы не будем учитывать эти побочные явления, так как они неизмеримо меньше основного свойства компонента.
Последовательное соединение
Нам необходимо изучить соединение однородных и разнородных компонентов. Мы проанализируем, какая величина получается в результате и какое сопротивление прохождению тока оказывают соединенные между собой компоненты.
Компоненты могут соединяться последовательно или параллельно (рис. 31). Последовательным соединением называется такое, когда конец одного компонента соединен с началом другого и т. д.
В этом случае ток поочередно проходит по всем образующим цепочку компонентам. При параллельном соединении между собой соединены одноименные выводы. Здесь ток, разветвляясь, одновременно проходит по всем соединенным таким образом компонентам.
Вы легко поймете, что соединенные последовательно сопротивления складываются. Возьмем резисторы сопротивлением 100, 500 и 1000 Ом. Соединим их последовательно; полученная цепочка будет иметь сопротивление
Возьмем теперь катушки индуктивности и соединим их последовательно. условии, что между ними нет взаимной индукции, их индуктивности должны складываться.
Возьмем катушки, обладающие индуктивностью соответственно 0,5 и 1,25 Г, и соединим их последовательно, разместив их достаточно далеко друг от друга, чтобы избежать взаимного влияния. Индуктивность цепи составит:
Все это кажется очень простым. А будет ли так же просто при последовательном соединении конденсаторов?
Рис. 31. Последовательное (а) и параллельное (б) соединения компонентов.
Рис. 32. Последовательное соединение конденсаторов. Суммарная емкость меньше емкости каждого из .
Мы сказали, что при таком соединении сопротивления компонентов складываются. А у конденсаторов складываются емкостные сопротивления. Рассмотрим случай с двумя конденсаторами, имеющими емкости соответственно , по которым протекает ток с частотой (рис. 32). Емкостные сопротивления этих конденсаторов складываются и составляют общее емкостное сопротивление:
Рассматривая емкостное сопротивление всей цепочки как соответствующее емкости С, мы можем записать:
Умножив все члены этого равенства на , получим:
Проведенные преобразования позволяют нам сделать вывод, что при последовательном соединении конденсаторов нужно сложить обратные величины их емкостей, чтобы получить обратную величину емкости всей цепочки.
В рассмотренном нами случае, т. е. случае последовательного соединения двух конденсаторов, из последней формулы мы без большого математического усилия можем вывести формулу для расчета емкости всей цепочки:
Параллельное соединение
Перейдем теперь к изучению компонентов, соединенных параллельно. Этот способ включения облегчает прохождение тока. В самом деле, здесь складывают проводимости компонентов. Так называют величину, обратную сопротивлению.
Рассмотрим случай параллельного соединения активных сопротивлений (рис. 33). Их проводимости складываются. При параллельном соединении двух резисторов проводимость всей цепочки равна сумме проводимостей соединенных резисторов:
Как вы видите, здесь наблюдается аналогия с последовательным соединением конденсаторов, и вы без труда можете рассчитать общее сопротивление цепи R двух параллельно соединенных резисторов:
Теперь, если мои рассуждения вам еще не наскучили, рассмотрим случай параллельного соединения двух катушек, между которыми нет взаимной индукции (рис. 34). Индуктивные сопротивления катушек пропорциональны их индуктивности. Следовательно, они будут вести себя аналогично активным сопротивлениям.
Итак, мы не ошибемся, если скажем, что две соединенные параллельна катушки и обладают общей индуктивностью, которая рассчитывается по формуле
И, наконец, рассмотрим случай двух соединенных параллельно конденсаторов (рис. 35). Здесь нужно складывать проводимости, которые представляют собой величины, обратные емкостным сопротивлениям. Но сами емкостные сопротивления, как вы помните, обратно пропорциональны емкостям. Это означает, что проводимости конденсаторов прямо пропорциональны их емкостям.
Рис. 33. При параллельном соединении резисторов общее сопротивление уменьшается.
Рис. 34. Параллельное соединение катушек индуктивности.
Рис. 35. Параллельное соединение конденсаторов.
Следовательно, будучи соединенными параллельно, емкости складываются:
Впрочем, анализируя физические явления, происходящие при заряде конденсаторов, вы легко пришли бы к этому выводу.
Постарайся запомнить, дорогой Незнайкин, что при последовательном соединении компонентов складываются их сопротивления, а при параллельном соединении складываются проводимости, т. е. величины, обратные сопротивлению.
Комбинированное соединение
Все только что сказанное мною применимо лишь к схемам, состоящим из однородных компонентов. Но положение значительно усложнится, если мы соединим вместе активные сопротивления, катушки индуктивности и конденсаторы.
Здесь мне следовало бы использовать термин полное сопротивление, который, как показывает само слово «полное», означает комплексное сопротивление, состоящее из активного и реактивного сопротивления. В отличие от активного сопротивления, присущего тому или иному материалу проводника, индуктивное и емкостное сопротивления называют реактивными сопротивлениями.
Полное сопротивление обозначается буквой Z, а его обратная величина и называется полной проводимостью.
Я не хочу утомлять вас рассмотрением всех возможных комбинаций. Мы ограничимся только теми, которые встречаются во всех электронных устройствах (табл. 2).
Рассмотрим для начала последовательное соединение катушки индуктивности с конденсатором (рис. 36). Их реактивные сопротивления складываются, но это не дает нам основания написать формулу со знаком плюс. В самом деле, индуктивное и емкостное сопротивления имеют как бы противоположные свойства.
Индуктивность, как вы знаете, задерживает появление тока при подключении к ней переменного напряжения. Это называется сдвигом по фазе, и ток в данном случае отстает от напряжения.
Обратное явление происходит в конденсаторе, где ток опережает напряжение по фазе. Ведь по мере нарастания заряда конденсатора напряжение на его обкладках увеличивается, но с приближением к насыщению величина тока убывает. Поэтому вас не удивит, что, складывая индуктивное сопротивление с емкостным, я перед последним поставлю знак минус:
Рис. 36. Последовательно соединенные катушка и конденсатор. Полное сопротивление цепи равно разности индуктивного и емкостного сопротивлений.
Рис. 37. Соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Активное сопротивление в данном случае очень мало, и поэтому в приведенной выше формуле оно не учитывается. Но если величина R активного сопротивления значительна, то наша формула приобретает более сложный вид:
Как вы видите, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, чтобы получить полное сопротивление.
Таблица 2
Это ничего тебе не напоминает, Незнайкин, из области геометрии? Не таким ли образом рассчитывают длину гипотенузы (рис. 37), извлекая квадратный корень из суммы квадратов катетов?
Последовательное соединение резисторов
Последовательное соединение резисторов это такое соединение когда резисторы подключаются последовательно друг за другом. При этом через все резисторы будет протекать одинаковый ток.
Для расчета общего сопротивления всех последовательно соединенных резисторов используется формула:
Rобщ = R1 + R2 + R3 + … + Rn.
Параллельное соединение резисторов
Параллельное соединение резисторов это когда один из контактов всех резисторов соединен в одну общую точку, а другой контакт всех резисторов соединен в другую общую точку. При этом в каждом отдельном резисторе течет свой определенный ток.
Если необходимо определить сопротивление двух параллельно соединенных резисторов, то можно воспользоваться следующей формулой:
Rобщ= (R1*R2)/(R1+R2)
Если два параллельно соединенных резистора имеют одинаковое сопротивление, то их общее сопротивление будет равно половине сопротивления одного из них:
Rобщ=(R1)/2 если R1=R2
Конденсаторы
Параллельное соединение конденсаторов
Параллельное соединение конденсаторов, это когда один из контактов всех конденсаторов соединен в одну общую точку, а другой контакт всех конденсаторов соединен в другую общую точку. При этом между пластинами каждого конденсатора будет одна и та же разность потенциала, так как все они заряжаются от общего источника.
Для последовательно соединенных двух конденсаторах общая емкость определяется следующей формулой:
Собщ= (С1*С2)/(С1+С2)
Катушки индуктивности
Последовательное соединение катушек индуктивности
При соединении катушек индуктивности последовательно суммарная индуктивность равна сумме индуктивности всех катушек, но при условии что, при последовательном соединении катушек индуктивности магнитные поля их не влияют друг на друга.
Lобщ=L1+L2+L3+…+Ln
Параллельное соединение катушек индуктивности
При параллельном соединении катушек индуктивности общая индуктивность (при условии что магнитные поля катушек индуктивности не влияют друг на друга) определяется по формуле:
Lобщ=1/(1/L1+1/L2+1/L3+1/Ln)
Индуктивность двух катушек, соединенных параллельно, определяется по следующей формуле:
Lобщ= (L1*L2)/(L1+L2)
- Похожие статьи